其实“混沌”一词，最早指的是宇宙未形成之前的混乱状态。在希腊神话中，混沌(Chaos)是孕育世界的神明。古希腊哲学家也一致认为，宇宙是从最初的混沌，逐渐变成现在有条不紊的模样的。然而我们不得不承认，在我们的直觉里，自然界确实是挺“混乱”的。

它总是充满了各种奇怪的形态和纹理，而且毫无规律可循。在自然界里，我们甚至几乎找不到两样东西是完全重复的。

但是，这样的直觉真的就是对的吗？有人就认为，在这些混乱的背后，其实隐藏着一些数学规则，而这些数学规则，是可以通过计算得出的。

01什么是混沌？

自然科学界、哲学、社会科学界等都具有自己学科精彩的解释。如，混沌是非周期的有序性；混沌是蕴含着有序的无序运动状态，是有序和无序的对立统一，是从有序中产生的无序状态。又如，混沌是一个简单的决定论系统表现出来的一种随机反复的状态；混沌是不规整的不可预测的，来自决定论的非线性动力学系统的性态。再如，混沌是决定论系统有限相空间中高度不稳定的一种运动。

一般地，混沌可以作这样的描述：它是从有序中产生的无序运动状态，无序来自有序，无序中蕴含着有序，有序和无序是对立统一的，高一层次上是有序，而低一层次上是无序的。

年，美国数学家PoincareJ.H.在《科学与方法》中提出了Poincare猜想。该猜想将动力学系统与拓扑学两大领域结合，指出混沌存在的可能性，从而成为世界上最先了解存在混沌可能性的人。

在年，气象学家洛伦滋借助于运算速度每秒作六次乘法的数字计算机，发现“确定性的非周期流”的存在是长期预报天气失败的基本原因。其实他的贡献远远不止于此。他在耗散系统中发现了混沌，发现了奇怪吸引子，从而提供了研究混沌的模型，并开创了用数值计算方法研究混沌的先河。洛伦兹将有序与无序统一在一起，连接了科学界决定论与概率论两大长期对立体系之间的鸿沟，站在科学帝国的金字塔尖俯视着整个人类。

20世纪70年代，科学家开始考虑许多不同种类的不规则之间有什么联系。生理学家研究人类心脏、生态学家探索种群体增减规律、经济学家研究股票价格升降、气象学家研究云彩的形状和雷电的径迹、医学家研究血管在显微镜下所看到的交叉缠绕、天文学家研究星星在银河中的簇集等，都发现其中存在着混沌现象。

混沌现象的发现、混沌学的建立，有力地帮助人们理解这种差异的原委。有些确定论的系统，不加任何随机因素的干扰就可以出现与布朗运动类似的行为，这就是混沌现象。混沌现象主要是非线性系统的长时间演化的行为。非线性数学是从数学角度去描述非线性系统，然后研究它在演化过程中出现的各种状态，尤其是各种共性。这是混沌学的任务。

02混沌一些基本特征

混沌有一些基本特征，这对作为一种数学技术的应用是十分有价值的。

特征之一是敏感性。这是混沌最基本的、最明显的特征。

混沌学理论有一个著名的“蝴蝶效应”（洛伦兹的蝴蝶）：“一只亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，就可能会在两周后引起美国德克萨斯州的一场飓风。”无疑，目前，美国已经发生的骚乱和骚乱背后的愤怒之火，就是“蝴蝶效应”的生动示例。

特征之二是普适性。

世界的本质只有通过非线性数学模型才能较准确地进行描述。人们知道，任何一个系统与另一个系统的相互作用都是双向的，从而会出现非线性项。但在经典力学中，常采取忽略的办法。随着研究的深入和精细，人们开始重视探索不可避免遇到的非线性现象。非线性现象的普适性是结构性特征。通过著名的生态学模型

Xn+1=μiXn（1-Xn）

式中，Xn表示种群增长率，μi是参数，表示非线性程度，费根鲍姆于年发现了两个重要的常数

以及标度率常数

α=2.……

这个数量化的特征的发现对奠定混沌学作为一门科学的地位是十分重要的。

特征之三是混沌系统的自相似性。

有一类混沌系统的部分与整体具有某种自相似性，这是混纯系统的无序中蕴含有序的几何特征，也是混沌与混乱的本质区别之一。混沌系统是十分复杂的系统，但这种复杂性是由简单性演化而来的。简单性对应着确定性，混沌系统有无穷的内部的几何结构，呈现着高度有序的微观结构，是无穷嵌套的自相似。

特征之四是混沌系统具有正的Liapunoυ指数。

Liapunoυ指数是针对系统的运动轨道而言的，是与轨道近旁的相空间在不同方向上收缩和扩张的特性有关的平均量。无论从空间还是从时间的意义上相对于系统运动的局部变形的平均，同时又都是由系统的长时间演化决定的。每一个正指数反映了在某个方向上不断伸张和折叠，以致吸引子上本来临近的状态突然又被拉开，从而系统初始的任意不确定性将导致系统长期行为的不可预测性。

混沌系统的特征表明，无法精确预测混沌系统的长时间的行为。但是新近研究表明：混沌是可以控制的，可以作为一项数学技术加以应用。混沌已被用来增强激光器的功率；调整电子线路的输出，使之同步；控制化学反应的波动；稳定动物心脏的异常心律；编码电子信息以保证通信安全。

我们知道，混沌系统长期行为不可预测，但它是确定的。如果两个极为相似的混沌系统受到同一信号驱动，可以产生相同的输出。这已为实验所证实。由此可以产生新的通信技术。

用数学模型描述的混沌系统中含有状态变量和参变量。状态变量组成状态空间，状态空间中的一个点代表系统在某一时刻的一个状态。当系统发生变化时，它就在状态空间中的各点之间发生移动，定义出一条轨线。混沌系统在状态空间的轨线十分复杂，但并非随心所欲，可以让其通过某些区域而避开一些区域。例如，把它拉向混沌吸引区。吸引区总是保持不变的。因此，只要搞清混沌吸引区，就可以设法将混沌系统控制到混沌吸引区。

控制混沌系统的关键之一在于认识到混沌吸引区是一个不稳定的周期行为的无穷集合，或者说是一些不稳定的周期轨道的集合。当混沌系统的参数被改变时，混沌吸引区也要发生迁移。

因此，可以通过控制参数产生所需要的吸引区，这个过程很像在马鞍上平衡一个玻璃球，如果这颗玻璃球一开始是置于马鞍中央，它趋于向两侧滚动。为了让其不动，就要迅速摆动马鞍。混沌吸引区迁移的道理是类似的。控制混沌系统并不容易，但实验证明可以在一个相当简单的系统中成功地控制混沌。

03混沌理论应用

年美国科学史家KuhnT.S.的《科学革命的结构》一书，对混沌理论的发展起到推波助澜的作用。特别是年，马里兰大学的中国学者李天岩和美国数学家YorkeJ.在《美国数学》上发表了“周期三意味着混沌”一文，深刻地揭示了从有序到混沌的演化过程。

随之，年美国生物学MayR.在《自然》杂志上发表了“具有极复杂的动力学的简单数学模型”一文，它向人们表明了混沌理论的惊人信息，简单的确定的数学模型竟然也可以产生看似随机的行为。年，第一次国际混沌会议在意大利召开，标志着混沌学的诞生。

这些年来，混沌迅速冲进了科学的各个领域，如纯数学、时空理论、湍流、浅水波的强迫振动、非线性振荡电路、量子力学、光学、声学、等离子体物理、超导理论、位错理论、非线性振动、相变理论、微波理论、固体物理、统计物理、天文学、广义相对论、地磁场理论、化学、气象学、工程模型、协同学、生态学、群体动力学、生物学、医学、经济学、社会学等，形成雪崩式的应用，出现了“条条道路通混沌”的趋势。

年中国第一界混沌会议在桂林召开，中国科学家徐京华在全世界第一个提出三种神经细胞的复合网络，并证明它存在混沌，指出人脑可看成是复杂的多层次混沌动力系统，脑功能的物理基础是混沌性质的过程。混沌的发展历程在人们面前展开了一幅恢弘的画卷。

具体说来，混沌控制的首项技术是在生物系统中实现的。先是在一只兔子心脏上试验，并取得了成功。有人预测，在不久的将来，有可能研制成采用混沌控制技术的心脏整律器和去纤维颤动器。

在科学这座神圣的殿堂里，只要人类的心智与“赛先生”同在，就没有蛮横的神兽，只有被驯服的宠物。

混沌技术已在图像压缩与贮存、计算机与信息处理、经济预测、家用电器及控制工程等领域得到应用。如预测长、短期利率与汇率动向的计算机软件已商品化。

对混沌论的最高评价是这样的：混沌应属于20世纪3大科学之一。相对论排除了绝对时空观的牛顿幻觉，量子论排除了可控测量过程中的牛顿迷梦，混沌则排除了拉普拉斯可预见性的狂想。混沌理论将开创科学思想上又一次新的革命。混沌学说将用一个不那么可预言的宇宙来取代牛顿、爱因斯坦的有序宇宙。

参考文献：吕振环、吴素文、李喜霞，论混沌学的发展、特性及其意义